Morgenstern-Price
Morgenstern-Pricova metoda je obecná proužková metoda mezní rovnováhy. Je založena na splnění rovnováhy sil i momentů na jednotlivých blocích. Bloky vzniknou rozdělením oblasti zeminy nad smykovou plochou dělicími rovinami. Statické schéma bloků a sil, které na ně působí, je zachyceno na obrázku:
Statické schéma - Morgenstern-Pricova metoda
U každého bloku se předpokládá působení stejných sil jako v metodě Spencer. Pro výpočet limitní rovnováhy sil a momentů na blocích jsou v metodě Morgenstern-Price zavedeny následující předpoklady:
- dělicí plochy mezi bloky jsou vždy svislé
- paprsek tíhy bloku Wi prochází středem i-tého úseku smykové plochy, bodem M
- normálová síla Ni působí ve středu i-tého úseku smykové plochy, v bodě M
- sklon meziblokových sil Ei je rozdílný na každém bloku (δi), na počátku a na konci smykové plochy je δ = 0
Z předchozího výčtu vyplývá, že jediným rozdílem mezi metodou Spencer a Morgenstern-Price je odlišná volba sklonu meziblokových sil δi. Prvotní odhad úhlů δi je realizován pomocí poloviční funkce sinus (Half-sine) - při výpočtu je automaticky zvolena jedna z funkcí na obrázku. Volba tvaru funkce má na výsledky stupně stability minimální vliv, ovšem vhodná volba může zlepšit konvergenci metody. Funkční hodnota Half-sine funkce f(xi) v bodě rozhraní xi vynásobená parametrem λ dává hodnotu úhlu δi.
Half-sine funkce
Řešení vychází z rovnic (1) - (5), uvedených v metodě Spencer, tj.:
| (1) |
| (2) |
| (3) |
| (4) |
| (5) |
kde: | φi | - | úhel vnitřního tření zeminy na úseku smykové plochy |
ci | - | soudržnost zeminy na úseku smykové plochy | |
αi | - | sklon úseku smykové plochy |
- rovnice (1) je vztah mezi efektivní a totální hodnotou normálové síly na smykové ploše.
- rovnice (2) je Mohr-Coulombova rovnice vyjadřující vztah mezi normálovou a smykovou sílou na úseku smykové plochy (Ni a Ti).
- rovnice (3) je součtová výminka ve směru kolmém k i-tému úseku smykové plochy
- rovnice (4) je součtová výminka ve směru i-tého úseku smykové plochy.
- rovnice (5) je momentová výminka k bodu M.
Ze součtových výminek rovnováhy (3) a (4) je získán rekurentní vztah (6):
| (6) |
Z tohoto vztahu lze pro dané hodnoty δi a SF postupně dopočítat všechny meziblokové síly Ei, vycházejíce z faktu, že na počátku smykové plochy je hodnota E známá, a to E1 = 0.
Z momentové výminky (5) je získán další rekurentní vztah (7):
| (7) |
Z tohoto vztahu se pro dané hodnoty úhlů δi určí všechna ramena meziblokových sil zi, při známé hodnotě vlevo na počátku smykové plochy, kde z1 = 0.
Výpočet stupně stability SF probíhá dvojnásobným iteračním postupem s následujícími kroky:
1. | Zvolí se prvotní hodnota úhlů δi pomocí funkce Half-sine (δi = λ*f(xi)). |
2. | Pro dané hodnoty úhlů δi se ze vztahu (6) stanoví odpovídající stupeň stability SF, a to tak, že na horním konci smykové plochy musí být hodnota En+1 = 0 |
3. | Pro hodnoty sil Ei stanovené v předchozím kroku se ze vztahu (7) vypočítá velikost úhlů δi , a to tak, aby na posledním bloku vpravo vyšla nulová hodnota momentu (funkční hodnoty f(xi)zůstávají po celou dobu výpočtu stejné, iteruje se pouze parametr λ). Vztah (7) už neurčuje hodnotu zn+1, ta je totiž nulová. Při této nulové hodnotě zde musí být splněna momentová výminka (5). |
4. | Iterace končí tehdy, pokud se úhly δi (resp. parametr λ) dalším opakováním kroku 2 a 3 nemění. |
Aby proces iterace probíhal pokud možno stabilně, je třeba se vyhnout oblasti nestabilit řešení. K těmto nestabilitám dochází v těch bodech, kde při vyčíslování vztahů (6) a (7) dochází k dělení nulou. Ve vztahu (7) dochází k dělení nulou tehdy, je-li δi = π/2 nebo δi = -π/2. Proto hodnota úhlu δi musí ležet v intervalu (-π/2 ; π/2).
Ve vztahu (6) dochází k dělení nulou tehdy, platí-li:
Další ošetření případné numerické nestability spočívá v kontrole velikosti parametru mα. Musí být splněna následující podmínka:
Proto je před začátkem iterace nutné nalézt nejvyšší z kritických hodnot SFmin splňujících výše uvedené podmínky. Hodnoty ležící níže než je tato kritická hranice SFmin se vyskytují v oblasti nestabilit řešení, proto iterace začíná nastavením SF na hodnotu „těsně“ nad SFmin a všechny výsledné hodnoty SF vystupující v iteraci jsou větší než SFmin.
Obecně lze říci, že rigorózní metody konvergují hůře než metody jednodušší (Bishop, Fellenius). Příklady vykazující problémy s konvergencí zahrnují např. příliš strmé úseky smykové plochy, složitou geometrii, výrazný skokový nárůst přitížení atd. Pokud metoda nespočte výsledek, doporučujeme lehce změnit zadání, např. zadat méně strmou plochu, vložit více bodů do smykové plochy atd., příp. pro výpočet použít některou z jednodušších metod.
Literatura:
Morgenstern, N.R., and Price, V.E. 1965. The analysis of the stability of general slip surfaces. Géotechnique, 15(1): 79-93.
Morgenstern, N.R., and Price, V.E. 1967. A numerical method for solving the equations of stability of general slip surfaces. Computer Journal, 9: 388-393.
Zhu, D.Y., Lee, C.F., Qian, Q.H., and Chen, G.R. 2005. A concise algorithm for computing the factor of safety using the Morgenstern-Price method. Canadian Geotechnical Journal, 42(1): 272-278.