Janbu
Metoda Janbu jest metodą paskową, opracowaną na bazie równowagi granicznej. Metoda ta wymaga spełnienia równowagi sił i momentów oddziaływujących na poszczególne bloki (tylko równowaga momentów na ostatnim, najwyższym bloku nie jest spełniona). Bloki tworzone są poprzez dzielenie gruntu powyżej powierzchni poślizgu, za pomocą płaszczyzn podziałowych. Siły oddziaływujące na poszczególne bloki pokazano na rysunku poniżej:
Static scheme - Janbu method
Przyjmuje się, że dla każdego z bloków zastosowanie mają podane poniżej siły:
Wi | - | ciężar bloku , zawierający dodatkowe obciążenie materiałowe o charakterze ciężaru ujmujące wpływ współczynnika Kv pionowego trzęsienia ziemi |
Kh*Wi | - | pozioma siła inercji reprezentująca efekt trzęsienia ziemi; Kh jest współczynnikiem przyspieszenia poziomego podczas trzęsienia ziemi |
Ni | - | siła normalna na powierzchni poślizgu |
Ti | - | siła tnąca na powierzchni poślizgu |
Ei, Ei+1 | - | siły wywierane sąsiadującymi blokami, nachylone od płaszyzny poziomej pod kątem δi, odpowiednio δi+1, znajdują się na wysokościach odpowiednio zi lub zi+1 ponad powierzchnią poślizgu |
Fxi,Fyi | - | inne siły poziome i pionowe oddziaływujące na blok |
M1i | - | moment sił Fxi Fyi obracających się wokół punktu M, który jest środkiem segmentu i-tego powierzchni poślizgu |
Ui | - | wypadkowa ciśnienia porowego na segmencie i-tym powierzchni poślizgu |
W metodzie Janbu przyjmowane są podane poniżej założenia, dla wyliczenia równowagi granicznej sił i momentów dla poszczególnych bloków:
- Płaszczyzny podziału między blokami są zawsze pionowe.
- Linia oddziaływania ciężaru bloku Wi przechodzi przez środek segmentu i-tego spowierzchni poślizgu, reprezentowany jako punkt M.
- Siła normalna Ni oddziaływuje w środku segmentu i-tego powierzchni poślizgu, w punkcie M.
- Przyjmowana jest pozycja zi sił Ei oddziaływujących miedzy blokami; na punktach końcowych powierzchni poślizgu z = 0.
Wybór pozycji zi może mieć znaczący wpływ na konwergencję (zbieżność) w metodzie. Jeśli zrobimy złe założenie pozycji zi dla danego zbocza, może stać się niemożliwe spełnienie warunków równowagi (algorytm nie będzie miał zbieżności). Wysokości zi ponad powierzchnią poślizgu ustawiane są mniej więcej na jedną trzecią wysokości interfejsu między blokami. W przypadku nie spełniania warunków równowagi, algorytm zmienia wysokości na różne pozycje, na przykład nieco wyżej w strefie pasywnej, w pobliżu podstawy, i niżej w strefie aktywnej, w pobliżu szczytu zbocza.
Dla uzyskania rozwiązania stosuje się następujące równania:
| (1) |
| (2) |
| (3) |
| (4) |
| (5) |
gdzie: | φi | - | kąt tarcia wewnętrznego gruntu na odcinku powierzchni poślizgu |
ci | - | spójność gruntu na odcinku powierzchni poślizgu | |
αi | - | nachylenie odcinka powierzchni poślizgu |
Równanie (1) przedstawia zależność między efektywną i całkowitą wartością siły normalnej oddziaływującej na powierzchnię poślizgu. Równanie (2) odpowiada warunkom Mohra-Coulomba, przedstawiającymi zależność między siłami normalnymi i ścinającymi dla danego segmentu powierzchni poślizgu. Równanie (3) przedstawia równanie równowagi sił, po kierunku normalnym do segmentu i-tego powierzchni poślizgu, a równanie (4) przedstawia równowagę wzdłuż segmentu i-tego powierzchni poślizgu. SF jest współczynnikiem bezpieczeństwa, stosowanym dla redukcji parametrów gruntu. Równanie (5) odpowiada równaniu równowagi momentów wokół punktu M, gdzie ygi jest współrzędną pionową punktu przyłożenia ciężaru bloku, a yM jest współrzędną pionową punktu M. Modyfikacja równań (3) i (4) daje nam podany poniżej wzór rekursywny (6):
| (6) |
Ten wzór pozwala na wyliczenie, przy danych wartościach δi i SF , wszystkich sił Ei oddziaływujących między blokami. Rozwiązanie przyjmuje, że na początku powierzchni poślizgu, znana jest wartość E i jest równa E1 = 0.
Wzór dla wyliczenia kątów δi (7) wyprowadzony jest z równania równowagi momentów (5), w postaci:
| (7) |
Ten wzór pozwala na obliczenie kątów δ dla danych wartości zi, przy znanych wartościach na punktach końcowych powierzchni poślizgu, zi = 0.
Współczynnik bezpieczeństwa SF wyznaczany jest za pomocą podanego poniżej procesu iteracyjnego:
- Wartość początkowa kątów wynosi zero, δi = 0, a pozycje zi jest około jedną trzecią wysokości interfejsu.
- Współczynnik bezpieczeństwa SF dla danej wartości δi wynika z równania (6), jeśli przyjmiemy wartość En+1 = 0 na końcu powierzchni poślizgu.
- Wartość δi otrzymuje się z równania (7), korzystając z wartości Ei wyznaczonych w uprzednim kroku.
- Następnie powtarzane są kroki 2 i 3, dopóki wartość SF nie będzie się zmieniać.
Aby uzyskać pomyślny proces iteracji, konieczne jest unikanie rozwiązań niestabilnych. Takie niestabilności pojawiają się w miejscach, gdy zachodzi dzielenie przez zero w wyrażeniu (6), to znaczy:
Innym sprawdzeniem zapobiegającym niestabilności liczbowej jest weryfikacja parametru mα - musi być spełniony podany poniżej warunek:
Tak więc, przed wykonaniem iteracji, wymagane jest znalezienie najwyższych wartości krytycznych (SFmin) spełniających wyżej podane warunki. Wartości poniżej wartości krytycznej SFmin znajdują się w obszarze niestabilnych rozwiązań, tak więc iterację rozpoczyna się od ustawienia wartości SF na wartość "tuż" powyżej SFmin, a wszystkie wartości wynikowe SF z iteracji są wyższe niż SFmin.
Należy zwrócic uwagę na fakt, że metody rygorystyczne konwergują znacznie gorzej niż metody prostsze (Bishop, Fellenius). Problemy z konwergencją mogą wystąpić, np. w przypadku wystąpienia zbyt stromych odcinków powierzchni poślizgu, skomplikowanej geometrii, czy znaczących, gwałtownych przyrostów obciążeń. Jeśli wynik nie zostanie uzyskany zaleca się drobną korektę wprowadzonych danych, np. zdefiniowanie mniej stromej powierzchni poślizgu, zdefiniowanie większej liczby punktów definiujących powierzchnię poślizgu. Innym rozwiązaniem może być zastosowanie prostszej metody obliczeniowej.
Literatura:
Janbu, N. 1954. Application of Composite Slip Surface for Stability Analysis. European Conference on Stability Analysis, Stockholm, Sweden.
Janbu, N. 1973. Slope Stability Computations. Embankment Dam Engineering - Casagrande Volume, R.C. Hirschfeld and S.J. Poulos, eds., John Wiley and Sons, New York, pp 47-86.