Guida Online

Zasada numerycznego rozwiązania konsolidacji

Konsolidacja

W standardowej analizie naprężeń, program GEO5 MES pozwala realizować dwa specyficzne podejścia do modelowania oddziaływania ciśnienia porowego na podłoże gruntowe. W przypadku warunków bez odpływu, zakłada się, że wszystkie obrzeża (krawędzie) otaczające grunt w warunkach bez odpływu są nieprzepuszczalne, a grunt jest traktowany jako objętościowo nieściśliwy. Przyłożone obciążenie powoduje wygenerowanie nadwyżki ciśnienia porowego w tej warstwie. Wprowadzenie odpowiednich warunków brzegowych, które pozwalają na stopniowe rozproszenie nadwyżki ciśnienia porowego, zapewnia uzyskanie przejścia do warunków z odpływem. W przypadku warunków z odpływem, zakładamy, że wynikowe ciśnienie porowe nie jest już zależne od odkształcenia podłoża gruntowego. Przejście z warunków z odpływem do warunków bez odpływu opisuje teoria konsolidacji. Termin konsolidacja oznacza deformację gruntu w czasie, która została spowodowana przez obciążenie zewnętrzne - stałe lub zmienne w czasie. Jest to proces reologiczny. W zastosowanym obecnie rozwiązaniu, ograniczamy nasze rozumowanie do tzw. konsolidacji pierwotnej, która polega na zmniejszeniu objętości porów i zmiany wewnętrznej struktury gruntu na skutek obciążenia wraz z towarzyszącym temu zjawisku odpływowi wody z porów. W analizie zakłada się, że grunt jest w pełni nasycony. Analiza konsolidacji gruntu częściowo nasyconego nie została na tym etapie wprowadzona do programu. Podstawowe równanie opisujące przepływ wody (równanie ciągłości, reprezentuje pochodną czasu danej wielkości) w całkowicie nasyconym (, ) gruncie podlegającym deformacji (patrz równanie Richarda dla opisu przejściowego (nieustalonego) przepływu wody) jest następujące.

Prędkość zmian całkowitego ciśnienia jest opisana przez:

Należy zauważyć, że całkowite ciśnienie porowe p jest sumą ciśnienia porowego stanu ustalonego p_ss i nadwyzki ciśnienia porowego p_ex. Przyjmuje ono postać:

Równanie ciągłości (1) może być dzięki temu zapisane w postaci:

Przyjmując warunek brzegowy o zerowej nadwyżce ciśnienia porowego dla brzegu o definiowanym ciśnieniu jako:

oraz zerowy przepływ (q(t) = 0) przez brzeg o definiowanej gęstości strumienia wody:

Porównaj: Ustawienia hydraulicznych warunków brzegowych.

Całkowite naprężenie jest wówczas określone przez:

Wartość bieżąca odkształceń i nadwyżki ciśnienia porowego w równaniu (7) wynika z zastosowania równań statycznych równowagi i równania ciągłości (4) w ramach sprzężonego rozwiązania naprężeń i zagadnienia przepływu wody z zastosowaniem zasady przemieszczeń wirtualnych. Tak jak w przypadku analizy nieustalonego przepływu wody, przyjęto zastosowanie w pełni niejawnej metody Eulera, do dyskretyzacji czasu w równaniu (4). Dalsze szczegóły można znaleźć w [1,2,3].

Analiza konsolidacji

Tak jak w przypadku analizy przejściowego (nieustalonego) przepływu wody, pierwsza faza budowy służy do określenia warunków początkowych, to znaczy rozkładu naprężeń geostatycznych i stanu ustalonego ciśnienia porowego. Wartości ustalone ciśnienia porowego są także równe wartościom całkowitego ciśnienia na końcu procesu konsolidacji. Początkowe wartości ciśnienia porowego określa się tylko poprzez zdefiniowanie zwierciadła wody gruntowej (ZWG). Warto zwrócić uwagę na fakt, że nawet jeśli zwierciadło wody gruntowej jest zdefiniowane w analizie w obrębie podłoża gruntowego, i rozpatrujemy grunt poniżej i powyżej zwierciadła wód gruntowych (GTW), to przyjmujemy dla nich stan całkowitego nasycenia. Zasada ta dotyczy również gruntów dodawanych do obliczeń w kolejnych fazach budowy (aktywacja nowych obszarów). Usuwanie gruntów lub wykonywanie wykopów (deaktywacja istniejących obszarów) nie jest mozliwe w obecnej wersji programu. Właściwa analiza konsolidacji rozpoczyna się od drugiej fazy budowy i wymaga zdefiniowania następujących elementów: odpowiednich hydraulicznych warunków brzegowych, czasu trwania danej fazy obliczeniowej, spodziewanej liczby kroków czasowych oraz określenia sposobu wprowadzenia obciążeń do analizy.

Definiowanie hydraulicznych warunków brzegowych

Program umożliwia określenie dwóch typów hydraulicznych warunków brzegowych; odwołując się do równań (5) i (6):

• Warunek zerowego ciśnienia porowego (p = 0), który umożliwia swobodny odpływ wody z podłoża gruntowego, tzn. warunek określający granice przepuszczalne. Mówiąc dokładniej, odpowiada to zerowej wartości nadwyżki ciśnienia porowego p_ex. Całkowita wartość ciśnienia porowego wzdłuż krwędzi/granicy jest równa p_ss. Jest to domyślny warunek brzegowy, dotyczy zarówno wszystkich zewnętrznych krawędzi modelu, jaki i zewnętrznych krawędzi nowych obszarów.
• Warunek zerowej gęstości strumienia (brak wpływu/wypływu, q = 0), co innymi słowy oznacza granicę nieprzepuszczalną. Warunek tego typu musi być zdefiniowany ręcznie przez użytkownika.

Wybór danego warunku brzegowego wpływa na prędkość konsolidacji. Szczegółowe informacje na ten temat omówione zostały w [1].

Definiowanie rozmiaru kroku czasowego - spodziewana liczba kroków czasowych w danej fazie

W przeciwieństwie do analizy nieustalonego przepływu wody początkowy rozmiar kroku czasowego (wartość dyskretna przyrostu czasu podczas rozwiązywania równania (4)) nie jest, w przypadku konsolidacji, bezpośrednio definiowany. W zamian, rozmiar kroku wyznaczany jest na podstawie określonego czasu trwania fazy obliczeniowej i zdefiniowanej liczby kroków czasowych, spodziewanych w danej fazie. W przypadku konsolidacji liniowej (wszystkie grunty zdefiniowane jako liniowo sprężyste) realizowana jest zdefiniowana liczba kroków czasowych. W przypadku konsolidacji nieliniowej, jeśli wystąpi brak zbieżności w bieżącym kroku czasowym, może nastąpić redukcja kroku czasowego. Zwiększa to liczbę kroków niezbędnych do ukończenia analizy danej fazy. Przy definiowaniu liczby kroków w odniesieniu do czasu trwania fazy należy pamiętać, że w momencie rozpoczęcia konsolidacji krok czasowy powinien być stosunkowo krótki (w szczególności w przypadku fazy obciążeniowej w połączeniu z konsolidacją nieliniową), natomiast wraz ze stopniowym postępem konsolidacji krok czasowy może osiągnąć do kilkudziesięciu dni. Szczegółowe informacje na ten temat omówione zostały w [1].

Wprowadzenie obciążenia do analizy

Podobnie jak w przypadku analizy nieustalonego przepływu wody program umożliwia wybór spośród dwóch opcji:

• Obciążenie jest przyłożone w jednym kroku na początku fazy obliczeń. Mówiąc dokładniej, przyjmuje się liniowy wzrost obciążenia w pierwszym kroku czasowym. W tej sytuacji, jeśli jesteśmy zainteresowani zachowaniem masywu przy t → 0, należy właściwie określić kombinację liczby kroków czasowych i czasu trwania pierwszej fazy (tj. 1 i 0.001). W przypadku bardzo krótkiego kroku czasowego oraz nieprzepuszczalnych granic (krawędzi modelu) (q = 0) modeluje się odpowiedź gruntu objętościowo nieściśliwego (K → ∞) o skończonej wartości modułu sprężystości poprzecznej. Wyniki dla t → 0 będą wówczas odpowiadały wynikom uzyskanym w standardowej analizie naprężeń w warunkach bez odpływu. Szczegółowe informacje na ten temat omówione zostały w [1].
• Obciążenie przyrastające liniowo w ciągu fazy obliczeniowej. Przyrost obciążenia zależy od rozmiaru bieżącego kroku czasowego. Szczególnie w przypadku konsolidacji nieliniowej, należy dokładnie sprecyzować czas, w którym wprowadzane jest obciążenie, aby uniknąć trudności ze zbiżnością analizy.

W przypadku gdy obciążenie nie zmienia się w ramach danej fazy, powyższe opcje ustawień nie mają zastosowania.

Zastosowanie elementów belkowych w konsolidacji

Przepuszczalność elementu belkowego zależy od jego lokalizacji i wyboru hydraulicznych warunków brzegowych. Element belkowy, który znajduje się w podłożu gruntowym, jest z założenia nieprzepuszczalny w kierunku normalnym. Na krawędziach/brzegach modelu, przepuszczalność elementu belkowego w kierunku normalnym, podobnie jak w przypadku analizy przepływu wody, jest zależna od wybranych warunków brzegowych. W przypadku krawędzi/brzegu przepuszczalnego (p = 0), element belkowy zlokalizowany na tym brzegu jest w pełni przepuszczalny, natomiast w przypadku granicy nieprzepuszczalnej (q = 0) element belkowy jest również nieprzepuszczalny.

Zastosowanie elementów kontaktowych w konsolidacji

Istnieją dwa podstawowe powody, dla których do analizy MES wprowadza się elementy kontaktowe. Po pierwsze, w celu zapewnienia możliwości wzajemnego względnego przesunięcia pomiędzy dwoma gruntami, gruntem a skałą, gruntem i elementem belkowym, np. w analizie współpracy gruntu i konstrukcji obudowy wykopu. Po drugie, w celu modelowania potencjalnego drenażu wzdłuż elementu belkowego lub ogólnie wzdłuż linii, do której przypisane są elementy kontaktowe. W każdym przypadku, należy zdać sobie sprawę z istnienia połączonej symulacji obydwu tych zjawisk, to znaczy analizy naprężeń i przepływu wody, prowadzonych równocześńie. Jeśli nie zostanie zdefiniowane inaczej, program zakłada warunki przepływu w elementach kontaktowych, jako zależne od przepuszczalności otaczającego gruntu zarówno w kierunku podłużnym i poprzecznym. W przypadku elementu kontaktowego związanego z elementem belkowym, przepuszczalność w kierunku normalnym k_n jest nieistotna, jako że zakłada się, że element belkowy jest w tym kierunku albo całkowicie nieprzepuszczalny (k_n = 0) albo całkowicie przepuszczalny (k_n → ∞), patrz "Zastosowanie elementów belkowych w konsolidacji".

Uwagi ogólne

Zmiana w czasie poszczególnych zmiennych, np. osiadania lub nadwyżki ciśnienia porowego, będzie w przypadku liniowej konsolidacji zawsze ograniczona rozwiązaniami analizy naprężeń, zarówno w warunkach bez odpływu (wszystkie aktywne grunty w analizowanym obszarze są zdefiniowane jako "bez odpływu"), jak i w warunkch z odpływem (ustawienie domyślne, wszystkie aktywne grunty w analizowanym obszarze są zdefiniowane jako "z odpływem"). Ten drugi przypadek jest zbieżny z analizą stanu ustalonego z całkowitym rozproszeniem nadwyżki ciśnienia porowego. Wyniki analizy liniowej naprężeń w gruntach w warunkach z odpływem i liniowej konsolidacji przeprowadzonej przy założeniu t → ∞ muszą być identyczne. Nie dotyczy to natomiast analizy nieliniowej, ponieważ w tym przypadku zasada superpozycji nie może mieć zastosowania. Szczegółowe informacje na ten temat omówione zostały w [1].

W przeciwieństwie do analizy przepływu, rozwiązanie zagadnienia konsolidacji wymaga zastosowania elementów wyższego stopnia (np. 6- węzłowe elementy trójkątne lub 8- węzłowe elementy czworoboczne). Wynika to z faktu, że przemieszczenia obliczane są we wszystkich węzłach danego elementu (aproksymacja kwadratowa pola przemieszczeń), natomiast ciśnienie porowe obliczane jest wyłącznie w węzłach narożnych (aproksymacja liniowa ciśnienia porowego).

W przeciwieństwie do jednowymiarowej konsolidacji zaimplementowanej w programie "Osiadanie", dwuwymiarowa konsolidacja przy t → 0 prowadzi do zerowego odkształcenia objętościowego i w ten sposób również zerowych średnich naprężeń efektywnych. Poszczególne składowe pola przemieszczenia są generalnie niezerowe.

Literatura:

[1] M. Šejnoha, T. Janda, H. Pruška, M. Brouček, Metoda konečných prvků v geomechanice: Teoretické základy a inženýrské aplikace, předpokládaný rok vydání (2015)

[2] Z. Bittnar and J. Šejnoha, Numerické Metody Mechaniky II. České vysoké učení technické v Praze, 1992

[3] Z. Bittnar and J. Šejnoha, Numerical methods in structural engineering, ASCE Press, 1996